• بازدید : 51 views
  • بدون نظر

این فایل در ۹صفحه قابل ویرایش تهیه شده وشامل موارد زیر است:

واژه انگلیسی Geometry ( هندسه ) از زبان یونانی ریشه گرفته است. این کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معنای زمین و «متری» به معنای اندازه گیری تشکیل شده است.بنابراین هندسه اندازه گیری زمین است. مصریان اولیه نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند در ادامه برای آشنایی بیشتر شما توضیحات مفصلی می دهیم.
هر سال رودخانة نیل طغیان نموده و نواحی اطراف رودخانه راسیل فرا می‌گرفت. 
این عمل تمام علایم مرزی میان تقسیمات مختلف را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی نماید. آنها روشی از علامت‌گذاری زمین‌ها با کمک پایه‌ها و طناب‌ها اختراع کردند. آنها پایه‌‌ای را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند، پایه دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو پایه توسط طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل می‌‌شدند.با دو پایه دیگر زمین محصور شده ، محلی برای کشت یا ساختمان سازی‌ می‌گشت. 
با برآمدن یونانیان اطلاعات ریاضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت.در آغاز تمام اصول هندسی ابتدایی بود. اما در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح ، یک آموزگار یونانی به نام تالس، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد. 
تالس دلایل ثبوت برخی از فرضیه‌ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشریحی بود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی‌ می‌کرد ، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. 
وی حدود سال ۳۰۰ قبل از میلاد مسیح ، تمام نتایج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در یک مجموعة ۱۳ جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند. 
براساس این قوانین ، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف ، توسعه می یافت. 
امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسة تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می کنیم. 
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند.قبل از اقلیدس، فیثاغورث( ۵۷۲-۵۰۰ ق.م ) و زنون ( ۴۹۰ ق.م. ) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند. 
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی معمولی بابلی ها را برای پیرامون دایره پذیرفت.به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می داد و این قدیمی ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است. 
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در قرن پنجم میلادی آپاستامبا، در قرن ششم ، آریاب هاتا ، در قرن هفتم ،براهماگوپتا و در قرن نهم ،بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.
هندسه تصويري :
فرض کنید دو صفحه  و  در فضا داریم که لزوماً موازی یکدیگر نیستند. در این صورت، برای به دست آوردن تصویر مرکزی  به روی  از مرکز مفروض  که در  یا  واقع نیست، می‌توان تصویر هر نقطه  از  را نقطه‌ای چون  از  تعریف کرد که  و  روی یک خط راست گذرنده از  قرار داشته باشند. 

همچنین می‌توان تصویر موازی را به این طریق به دست آورد که خطهای تصویر کننده را موازی در نظر بگیریم. همین‌طور تصویر یک خط  در واقع صفحه  به روی خط دیگری چون  در  هم به صورت تصویر مرکزی از یک نقطه  ، و هم به صورت تصویر موازی تعریف می‌شود. تبدیل یک شکل به شکل دیگر از طریق تصویر موازی یا مرکزی و یا به وسیله رشته‌ای متناهی از این تصویر کردنها، تبدیل تصویری نامیده می‌شود. 

هندسه تصویری صفحه یا خط عبارت از مجموعه آن گزاره‌های هندسی است که بر اثر تبدیلهای تصویری دلخواه شکلها تغییری در صدق آنها پدید نمی‌آید. در مقابل، هندسه متری به مجموعه‌ای از گزاره‌ها، راجعه به اندازه‌های شکلها، اطلاق می‌شود که فقط تحت حرکتهای صلب شکلها صادق می‌مانند. 
 
……………………..تصور کردن از یک نقطه…………………………………………………………….تصویرگری موازی 


به بعضی از ویژگیهای تصویری فوراً می‌توان پی‌برد. تصویر هر نقطه، یک نقطه است. به علاوه، تصویر هر خط راست، یک خط راست است زیرا اگر خط  واقع در  به روی صفحه  تصویر شود، تقاطع  با صفحه گذرنده از  و  ، خط راست  خواهد بود. اگر نقطه  و خط راست  ملازم هم باشند. آنگاه پس از هر عمل تصویر، نقطه متناظر  و خط متناظر  نیز ملازم هم خواهند بود. پس ملازمت یک نقطه و یک خط تحت گروه تصویری ناورداست. این واقعیت، پیامدهای ساده ولی مهمی دارد. اگر سه یا تعداد بیشتری نقطه همخط باشند، یعنی ملازم با یک خط راست باشند، تصویرهای آنها نیز همخط خواهند بود. همچنین اگر سه یا تعداد بیشتری خط راست همرس باشند یعنی ملازم با یک نقطه باشند، تصویرهای آنها نیز خطهای راست همرسی خواهند بود. در حالی که این ویژگیهای ساده – ملازمت،‌همخطی‌، و همرسی – ویژگیهای تصویری (یعنی ویژگیهای ناوردا تحت عمل تصویر) هستند، اندازه‌های طول و زاویه، و نسبتهای چنین اندازه‌هایی، عموماً بر اثر تصویر کردن تغییر می‌کنند. مثلثهای متساوی‌الساقین یا متساوی‌الاضلاع را می‌توان به مثلثهای مختلف‌الاضلاع تصویر کرد. پس اگر چه «مثلث» مفهومی متعلق به هندسه تصویری است، «مثلث متساوی‌الاضلاع» چنین نیست و فقط به هندسه متری تعلق دارد.
برسي و اثبات پنجمين اصل موضوع هندسه اقليدسي
 
همانطور كه ميدانيم در هندسه اقليدسي يكسري از مفاهيم اوليه نظير خط و نقطه تعريف شده بود و پنج اصل موضوع آنرا به عنوان بديهيات پذيرفته بودند و ساير قضايا را با استفاده از اين اصول استنتاج مي‌كردند . اما اصل پنجم چندان بديهي به‌نظر نمي‌رسيد . بنابر اصل پنجم اقليدس از يك نقطه خارج از يك خط ، يك خط و تنها يك خط مي‌توان موازي با خط مفروض رسم كرد . برخي از رياضيدانان مدعي بودند كه اين اصل را مي‌توان به‌عنوان يك قضيه ثابت كرد . در اين راه بسياري از رياضيدانان تلاش زيادي كردند ، ولي نتيجه‌اي نگرفتند . 
 
اشكالات وارد بر هندسه اقليدسي :
لازم به توضيح است كه تمامي اصول و مفاهيم هندسه اقليدسي تنها شامل نظريات خود اقليدس نمي‌شود بلكه اكثرا مجموعه‌اي جمع آوري شده از هندسه مصري‌ها و بابلي‌ها توسط اقليدس است . هندسه اقليدسي بر اساس پنج اصل موضوعه زير شكل گرفته و طبقه بندي شده است :
اصل اول – از هر نقطه مي‌توان خط مستقيمي به هر نقطه ديگري كشيد يا اينكه كوتاه‌ترين فاصله مابين دو نقطه يك پاره خط مستقيم است .
اصل دوم – هر پاره خط مستقيم را مي‌توان روي همان خط به‌طور نامحدود امتداد داد .
اصل سوم – مي‌توان دايره‌اي به هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم كرد .
اصل چهارم – همه زواياي قائمه با هم مساوي هستند .
اصل پنجم – از يك نقطه خارج يك خط ، يك و تنها يك خط مي‌توان موازي با خط مفروض رسم كرد .
طبق تعاريف فعلي ” اصل پنجم اقليدس كه ايجاز ساير اصول را نداشت ، به هيچ وجه واجد صفت بديهي نبود . در واقع اين اصل بيشتر به يك قضيه شباهت داشت تا به يك اصل . بنابراين طبيعي بود كه لزوم واقعي آن به عنوان يك اصل مورد سوال قرار گيرد . زيرا چنين تصور مي‌شد كه شايد بتوان آن را به‌عنوان يك قضيه ، و نه يك اصل از ساير اصول استخراج كرد ، يا حداقل به‌جاي آن مي‌توان معادل قابل قبول‌تري قرار داد . در طول تاريخ بسياري از رياضيدانان از جمله خيام ، خواجه نصيرالدين توسي ، جان واليس ، لژاندر ، فور كوش بويوئي و … تلاش كردند تا اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرند و آن را به عنوان يك قضيه اثبات كنند ، اما تمام اين تلاش‌ها بي‌نتيجه بود و در اثبات دچار خطا مي‌شدند و يا به نوعي همين اصل را در اثبات خود بكار مي‌بردند . سرانجام دالامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميد .”
اما موضوع بسيار مهم اين است كه اشيا در دنياي فيزيكي با هندسه اقليدسي سازگارند و هندسه‌هاي نااقليدسي زير مجموعه‌اي از هندسه اقليدسي محسوب ميشوند به طور مثال يك مكعب را در نظر بگيريد كه در فضاي اقليدسي ، از نظر هندسي كاملا اقليدسي است و اگر كره محيط يا محاط آن را رسم كنيم داخل سطح كره با هندسه هذلولي و خارج سطح كره با هندسه بيضوي برسي و مطالعه ميشود و اينك براي اثبات اصل پنجم هندسه اقليدسي چه كاري ميتوان انجام داد . در اين مبحث به استناد اصول و مفاهيم تعريف شده در حيطه هندسه اقليدسي سعي در ارايه راهكاري براي اثبات اين اصل مي‌كنيم .
  • بازدید : 41 views
  • بدون نظر
این فایل در ۲۳صفحه قابل ویرایش تهیه شده وشامل موارد زیر است:

جبر بعنوان دانش حل معادله ها پدید آمد . در مصر و بابل کهن و همچنین در دوران های جدیدتر در هند ، با مقدمه های جبر “آشنا بودند و با توجه به داده های مسأله ، می توانستند معادله را تشکیل دهند و برخی از گونه های آن را حل کنند . البته آنها از حرف برای نشان دادن داده ها و مجهول ها آگاهی نداشتند و نمی توانستند معادله ها را به صورت کلی خود تنظیم کنند . در دوران ریاضیات کاربردی ، عنصرهای جبری ، همچون ادامه دانش حساب تلقی می شد . با وجود این ، به ویژه بابلی ها تا مرز بالایی از جبر جلو رفته بودند و می توانستند مساله های عملی را که منجر به گونه هایی از معادله درجه دوم و در بعضی حالت ها ، حتی درجه سوم شود ، حل کنند 
به واژه « جبر » برای نخستین بار در سده نهم میلادی و در کارهای محمد فرزند موسا مشهور به خوارزمی مجوسی ، برخورد می کنیم . خوارزمی کتاب « حساب جبر و مقابله » ر ابه تشکیل و حل معادله ها اختصاص داده است . او از شش نوع معادله صحبت می کند که یکی از آن ها ، معادله درجه اول و پنج گونه دیگر درجه دوم است 
( در واقع معادله درجه اول را هم حالت خاصی از معادله درجه دوم ، وقتی که ضریب درجه دوم برابر صفر باشد ، می گیرد ) . « حساب جبر و مقابله » همه چیز ر ابا واژه ها بیان می کند و هیچ گونه نماد حرفی ندارد . 
اصطلاح های « جبر » به معنای « جبران کردن » ، و « مقابله » ( مقابل هم قرار دادن ) ، معرف دو عمل ساده جبری است ؛ به نحوی که همه جمله های سمت چپ و راست معادله ، مثبت یا با ضریب مثبت باشند . واژه « جبر » به همان معنایی آمده است که در این مصراع سعدی : « که جبر خاطر مسکین بلا بگرداند » و از نظر عمل های جبری ، به معنای انتقال جله منفی به طرف دیگر معادله است تا مثبت شود . اصطلاح « مقابله » هم به معنای مقابل قرار دادن جله ها در دو طرف برابر ی و حذف مقدارهای برابر از دو طرف است . 
به این ترتیب « جبر و مقابله » به معنای ساده کردن معادله و ساده کردن جمله های متشابه است . نمادهای امروزی به تدریج و در طول زمان به وجود آمد . 
« محمد کرجی » ریاضیدان ایرانی اول سده یازدهم میلادی ، برای نشان دادن مجهول نمادی را انتخاب کرد . معادله ها نزد ایرانی ها تا جایی رسید که « خیام » معادله های درجه سوم ر ابه یاری برش های مخروطی حل می کند . باید توجه داشت که ایرانیان به پیروی از یونانی ها ، از هندسه برای حل مساله های جبری کمک می گرفتند . خوارزمی مسله های خود را گاهی با شیوه جبری و گاهی با کمک هندسه حل می کند . ولی خیام برای حل معادله های درجه سهم ، تنها ار هندسه و برش مخروطی استفاده 
می کند تا سرانجام جمشید کاشانی راه حلی جبری برای معادله درجه سوم می یابد که جواب ر اتا هر درجه دقت به دست می دهد . 
ریاضیدانان ایرانی ، به معادله های بالاتر از درجه سوم اعتقادی نداشتند ؛ زیرا فضا را سه بعدی و a3 را حجم مکعبی به ضلع a می دانستند و چون در فضا بیش از سه بعد نداریم ، برای a4 و a5 و غیر آن معنایی قائل نبودند . 
نمادهای جبری برای اولین بار در اروپای سده های پانزده و شانزدهم برای مجهول و سپس برای عمل ها پدید آمد . خوارزمی برای مجهول از واژه « شیء » استفاده می کرد ؛ همین واژه بعدها در اروپا به « x » تبدیل شد و برای نشان دادن مجهول به کار رفت . 
نخستین کسی که از حرف های الفبای لاتین برای نامیدن مجهول استفاده کرد فرانسوا ویت بود . او برای مجهول ، حرف N ر ابه کار مب برد . سپس بیش از همه ریاضیدان آلمانی « لایب نیتس » ( ۱۶۴۶ – ۱۷۱۶ ) و ریاضیدان و فیزیکدان انگلیسی « نیوتون » و ریاضیدان فرانسوی « دکارت » ( ۱۵۹۶ – ۱۶۵۰ ) ، در شکل گیری نمادها نقش داشتند . 
در سده پانزدهم « رکورد » ریاضیدان انگلیسی ، نماد برابری را به صورت دو پاره خط راست موازی ( = ) انتخاب کرد . در این باره ، خود رکورد می نویسد : « هیچ چیز مثل دو پاره خط راست موازی ، نمی تواند مفهوم برابری را برساند . » 

تاریخ عددهای منفی
مفهوم عددهای منفی به تقریب در سده اول پیش از میلاد ، به وسیله هندی ها پدید آمد ( آنها عدد منفی را ، یعنی عددی کهکمتر از صفر بود ، « وام یا قرض » می نامیدند و مقدار مثبت را « دارایی » ) . برخی ریاضیدانان ایرانی هم از این اصطلاح برای بیان عدد استفاده می کردند . ولی به طور کلی ، ریاضیدانان ایرانی تنها به جواب مثبت معادله توجه داشتند . 
ریاضیدانان اروپایی سد های شانزدهم و هفدهم ، اغلب به جواب منفی معادله ها بی توجه بودند ، به آنها اهمیت نمی دادند و آنها را جواب های « دروغ » و « بی معنا » 
می دانستند ( از جمله ، فرانسوا ویت ریاضیدان فرانسوی ) . 
عددهای منفی تنها وقتی مورد قبول عام قرار گرفتند که سرچشمه واقعی آنها پیداشد . ولی دانشمندان یکباره به این سرچشمه پی نبردند . برای رسیدن به این مرحله ، دشواری ها و موانع بسیاری وجود داشت . 
یکی از روش های تفسیر مقدارهای مثبت و منفی را ، هندی ها یافتند که بسیار هم طبیعی بود . آنها سرچشمه مقدارهای مثبت و منفی را در دارایی و قرض یافتند . آنها با آغاز از اینجا ، بدون این که این مطلب را از نظر علمی تجزیه و تحلیل کرده باشند ، عمل روی عددهای منفی را آغاز کردند . برای نمونه « براهما گوپتا » ( ۵۹۸ –۶۶۰ میلادی ) یکی از بزرگترین ریاضیدانان و اختر شناسان ، در کتاب اخترشناسی اختصاص دارد ) و در سال ۶۲۸ میلادی نوشته شده است می گوید : 
« مجموع دو دارایی ، یک دارایی و مجموع دو قرض ، قرض است . مجموع دارایی و قرض ، تفاضل آنها و اگر برابر باشند صفر است . مجمووع صفر و دارایی ، دارایی ، و مجموع صفر و قرض ، قرض است . مجموع دو صفر ، برابر صفر است . »
سپس می گوید :
« وقتی کوچکتر ر ااز بزرگتر کم کنیم ، از دارایی ، دارایی به دست می آید و از قرض ، قرض ؛ ولی اگر بزرگ را از کوچک کم کنیم ، از دارایی به قرض و از قرض به دارایی می رسیم . وقتی دارایی را از صفر کم کنیم ، قرض و وقتی قرض ر ااز صفر کم کنیم ، دارایی به دست می آید . »
یکی دیگر از ریاضیدانان و اختر شناسان هندی به نام بهاسکارا – آکاریا ( در ۱۱۱۴  میلادی زاده شد ؛ ولی تاریخ مرگ اومعلوم نیست ) ، بیشتر توجه خود را روی عددهای منفی گذاشت . پسوند « آکاریا » که به دنبال نام او آمده است ، معنای « دانشمند » و « اندیشمند » را می دهد . او به تقریب در سل ۱۱۵۰ میلادی ، کتابی به نام « تاج دستگاهها » نوشت . پیشگفتار این کتاب می نویسد : 
« حاصلضرب دو دارایی یا دو قرض برابر است با دارایی . نتیجه ضرب دارایی در قرض ، عبارت است از زیان . در تقسیم هم همین نتیجه به دست می آید . مربع دارایی یا قرض برابر دارایی است . دارایی دارای ریشه دوم است ؛ یکی دارایی است و دیگری قرض . »
ریاضیدانان ایتالیایی سده شانزدهم ( پاچیلو ، تارتاگلیا . فه رو ) ، گرچه از قانون علامت ها در عمی استفاده می کردند ؛ ولی علامت منفی را تنها به عنوان نماد تفریق در نظر می گرفتند ؛ نه به صورت عددهای منفی . 
در بین اروپایی ها ، نخستین کسی که ریشه های مثبت معادله رادر کنار ریشه های منفی آن به حساب آورد ، « کاردان » ( ۱۵۰۱ – ۱۵۷۶ ) ریاضیدان ایتالیایی بود . او ریشه های منفی را « ساختگی و بدلی » نامید . او با این نامگذاری ، می خواست بگوید که ریشه های منفی ، قابل توجیخ نیستند . 
ریاضیدانان آلمانی هم ، همزمان با همکاران ایتالییی خود در سده شانزدهم ، استفاده از عددهای منفی را آغاز کردند . برای نمونه « شتیفل » در کتاب « حساب 
آلمانی » خود ، با پیروی از « قانون علامت ها » در عمل های جبری ، به فراوانی از عددهای منفی استفاده می کند . شتیفل به این مناسبت می نویسد :
« … عمل های جبری روی این عددها ، در واقع منجر به نتیجه ای شگفت می شود …. ما ناچاریم از عددهای کمتر از صفر یا کمتر از « هیچ » استفاده کنیم . »
در کنار هواداران عددهای منفی ، مخالفان هم وجود داشتند . از جمله مخالفان 
( همان طور که پیش از این هم گفتیم ) فرانسوا ویت بود که نه عددهای منفی را به رسمیت شناخت و نه در نوشه های خود به کار برد . 
توجیه امروزی عددهای منفی ، به عنوان پاره خط های جهت دار ، در سده هفدهم داده شد که بیش از همه در نوشتارهای دو ریاضیدان دیده می شود ؛ « ژیرار » ریاضیدان هلندی ( ۱۵۹۵ – ۱۶۳۴ ) و دکارت ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی . امروز از عددهای منفی در رسم منحنی ها استفاده می شود . در ضمن ، عددهای مثبت و عددهای منفی به وسیله یک نقطه از محور ، از یکدیگر جدا می شوند . 

اتحادها
پس از آشنایی با عمل های جبری روی چند جمله ای هایی که ضریب های درستی داشته باشند ، می توان به تاریخچه اتحادها رپداخت ، که برای ساده کردن ضرب چند جمله ای ها ، اهمیت بسیاری دارد . 
استفاده از اتحادها ر اباید دردوران کهن جستجو کرد . یونانی ها ، هر گونه مفهوم ریاضی ر اتا جایی که ممکن بود ، به هندسه تبدیل کردند . توجه بیشتر آنها به این دلیل بود که گمان می کردند ، هندسه دانشی مجرد است و هیچ گونه کاربرد عملی در زندگی ندارد . برای نمونه ، فیثاغورس ، که در سده ششم پیش از میلاد زندگی می کرد یا هواداران او ، یک رشته اتحاد را روی طول ضلع های مثلث قائم الزاویه مطرح کردند . 
ولی اقلیدس ، که در سده سوم یش از میلاد می زیست ، بیشتر اتحادهای جبری را ، البته به صورت هندسی ، منظم کرده است . او در « مقدمات » خود که شامل سیزده کتاب است ، کتاب دوم را به اتحادهای جبری ، البته با استدلال هندسی آنها ، اختصاص داده است . اقلیدس به کمک شکل های هندسی ، ده اتحاد جبری را بررسی می کند که اتحاد :
(a + b )2 = a2 + 2 ab + b2 
چهارمین آنهاست . 
اقلیدس این اتحاد را به صورت قضیه ای تنظیم کرده است که در این جا آن را با اندک تغییری می آوریم :
اگر پاره خط راست دلخواهی در نظر بگیریم که دو پاره خط راست تقسیم شده باشد ، مساحت مربعی که روی تمام پاره خط راست رسم شود ، برابر است با مجموع مساحت های دو مربع کع روی بخش های پاره خط راست اصلی رسم شوند ، به اضافه دو برابر مساحت مستطیلی که روی بخش های اصلی پاره خط راست به وجود می آید . 
روشن است که استدلال هندسی اقلیدس و دیگر ریاضیدانان یونانی ، نمی تواند امروز برای عددهای منفی به کار رود . 

عتیقه زیرخاکی گنج