• بازدید : 55 views
  • بدون نظر
این فایل در ۱۸صفحه قابل ویرایش تهیه شده وشامل موارد زیر است:

ما بررسی می کنیم صف M/M/C را در جاییکه مشتریان یک موقعیت بحرانی را ، موقعیکه ،زمان اقامت موقت متجاوز از یک زمان تصادفی است ،واگذار می کنند. کرانهای بالایی و پایینی برای توزیع تعداد شغلهای حساس از دو سیستم اصلی اصلاح شده ، گرفته می شوند. دو سیستم اصلاح شده می توانند بطور موثری حل شوند. محاسبات عددی ،توان روش را نشان می دهند.
ما بررسی می کنیم صف  را در جاییکه مشتریان یک موقعیت بحرانی را ، موقعیکه ،زمان اقامت موقت متجاوز از یک زمان تصادفی است ،واگذار می کنند. این زمان به طور تشریحی با پارامتر   تعمیم داده شده است. شاخص مشتریان ،برای هر یک از شاخصها ،اولویت انحصاری دارد( بنابراین اگر شاخص مشتریان در صف منتظر باشند ، سرورها هرگز به شاخص مشتریان توجه نمی کنند). در برنامه کاربردی که ما در نظر داریم ، زمانی که ، زمان صف بندی یک شغل متجاوز از زمان تصادفی باشد،مشتریان repairjob و سرورها تعمیرکارها (مهندسین) هستندو repairjob بحرانی (حساس ) نامیده خواهد شد و علت اینکه کند کاری تاسیسات درست از کدام repairjob  سرچشکه گرفته است ، مشخص می شود. یک مثال در این زمینه کارخانه قند است ، جاییکه چغندر قند تصفیه می شود. کارکنان فنی چنین کارخانه ایی که تاسیسات را نگهداری می کنند ، شامل مهندسینی هستند که در طول شیفت عملیاتی چغندر قند کار می کنند. این عملیات که روی چغندر انجام می شود یک دوره صد روزه ، از زمان برداشت چغندرها و تصفیه آنها در کارخانه می باشد. مدیریت کارخانه قند علاقه مند به تاخیر در پروسه تعمیراتی  است که از مشکلات  فنی تاسیسات بوجود آمده است. ما repairjob  و مهندسین را به عنوان صف خدمتگزار چند گانه طراحی کرده ایم . repairjob زمانی که صف بندی آن متجاوز از یک زمان تصادفی داده شده باشد ، بحرانی محسوب می شود و آنگاه با آن بر اساس اولویت رفتار می شود. با فرض اینکه مشکلات طبق فراین پواسون بدست می آید ما به مدل شدح داده شده در بالا می رسیم که در آن کار تعمیر با یک نرخ نمایی انجام و شغلها با یک نرخ نمایی بحرانی یا حساس می شوند.البته این نوع مدل می تواند بعنوان اولین مدل تخمینی مورد استفاده قرار گیرد.  مقادیر اساسی جالب برای مدیریت ، مجموع زمان در طول عملیات است که شامل شغلهای تعمیراتی حساس و میانگین این شغلهای حساس می باشد. سیستم می تواند با یک فرایند مارکوف دو بهدی نمایش داده شود ، با حالتهای (m,n) که m تعداد شغلهای بدون حساسیت و n تعداد شغلهای حساس در سیستم است. پیدا کردن یک راه حل صریح برای احتمالات ثابت این فرایند مارکوف ،کاری مشکل است. و ما برای انجام این امر تلاش نخواهیم کرد. در عوض کرانهای بالا یی و پایینی برای توزیع تعداد شغلهای حساس از دو سیستم اصلی اصلاح شده بدست خواهند آمد که برای حل شدن آسانتر هستند. تعداد شغلهای بدون حساسیت در این دو سیستم با یک آستانه قطعی ، کراندار است. در مدل کران پایین ، این امر با نپذیرفتن یک شغل جدید ،چنانچه تعداد شغلهای بدون حساسیت به آستانه رسیده باشند ، مشخص می شود. در مدل کران بالا ، یک شغل جدید در این حالت بلافاصله بحرانی محسوب می شود. آستانه وسیع بهتر از کرانها خواهد بود ،اما تلاش بیشتر برای محاسبه کرانها صورت می گیرد . توجه اینکه ،موقعی که شغلهای زیادی در سیستم اصلی وجود دارد ،اکثر آنها حساس خواهند بود. بنابراین فردی ممکن است پیش بینی کند که کرانها برای تعدیل تقریبی مقادیر آستانه مشکل هستند. دلیل اینکه چرا کرانهای بالا و پایین سیستم آسانتر از بکارگیری مدل اصلی هستند این است که فرایند مارکوف توضیح می دهد که این سیستمها فقط یک متغیر غیر کراندار به نام n دارند . بنابراین آنها ذاتاً یک بعدی می باشند. در واقع این فرایندها ، فرایند تولد و مرگ نامیده می شوند ، که بطور  موثری می توانند با استفاده از روش هندسی ماتریسی Neuts حل شوند. 
اثبات کرانها با توجه به روش تکنیکی مارکوف مشابه روش بکار گرفته شده برای [۴, ۵, ۶, ۷, ۱, ۲] است. در این منابع فرایندهای ابتدایی مارکوف که مدل اصلی و مدل کرانهای پایین و بالا را نمایش می دهند به زنجیره های معادل مارکوفی تبدیل می شوند.سپس از طریق استقرا نشان داده می شود که برای هر تعداد متناهی دوره ، عمل کرد اجرایی مدل اصلی بین عملکردهای اجرایی دو مدل کراندار قرار گرفته است. برقراری تعداد دوره ها ، بازده بی نهایت را برای میانگین اجرا در پی دارد. تفسیر در زنجیر مارکوف فقط زمانی امکان پذیر است که میزان انتقال کراندار باشد . در این حالت ،این امر برای مدل کران بالا و پایین برقرار است ولی برای مدل اصلی برقرار نیست. بنابراین ،ما کانالهای عبوری با تفاوت اندک را داریم . ابتدا ما ثابت می کنیم که تعداد شغلهای بحرانی یا حساس در مدل کران پایین (بالا) ،با افزایش آستانه ، به طور اتفاقی افزایش (کاهش)می یابد.این با استفاده از تکنیک شرح داده شده در بالا برقرار است. سپس با نشان دادن اینکه توزیعهای تعدادی از شغلهای حساس در مدل کران بالا و پایین ، وقتی که آستانه به بی نهایت میل می کند ،به مدل اصلی همگرا است ، اثبات تمام می شود. در واقع،ما بیشتر از آنچه در منابع ذکر شده  است اثبات میکنیم و بدین ترتیب نه تنها کرانها بهبود می یابند بلکه آنها همدیگر را همپوشانی نیز می کنند. تکنیک پاداش مارکوف استفاده شده در این مقاله که برای قابل محاسبه کردن کرانها مورد استفاده قرار گرفته است ، یک ابزار قدرتمند برای خواص کیفی مثل: ویژگیهای یکنواخت در شبکه های صف بندی شده یا بهینه سازی خطی مش صفهای موازی می باشد.
 مدل با جریان ورودی اضافی شغلها که هر کدام با توجه به تحقیق De Waal [12] and Van Rooij [11].  حساس هستند شروع می شود. آنها این امکان را برای شرح نگهداری پیشگیرانه و تعمیر اجزا در تاسیسات استفاده می کنند ، مانند تاسیسات یک پالایشگاه نفت. در این مدل کار تعمیرات اصلاحی ،(یعنی مارهای حساس) بر کارهای پیشگیرانه اولویت دارند . اما ، نگهداری پیشگرانه یک جزء میتواند به نگهداری اصلاحی تبدیل شود.این حالت زمانی اتفاق می افتد که  اجزایی که  در حال انتظار هستند ،دچار ایراد می شوند. آنها تقریب را برای بخشی از کارهای تعمیرات پیشگیرانه را که به اصلاحی تبدیل می شوند و میانگین زمان نگهداری پیشگیرانه را افزایش می دهند رابکار میبرند.
مقاله به صورت زیر مرتب شده است. در بخش دوم ما مدلها را توضیح می دهیم . کرانها در بخش ۳ و تحلیل ماتریسی- هندسی در مورد مدل کران بالا و پایین به طور مختصر در فصل ۴ توضیح داده شده اند .ما نتایج عددی را در فصل ۵ نشان داده ایم .بخش آخر به نتیجه گیری و توضیحات اختصاص دارد.

۲- مدلها 
ما بررسی می کنیم صف  را در جاییکه مشتریان یک موقعیت بحرانی را ، موقعیکه ،زمان اقامت موقت متجاوز از یک زمان تصادفی است ،واگذار می کنند. این زمان به طور تشریحی با پارامتر  تعمیم داده شده است. شغلهای حساس یک اولویت خاص نسبت به شغلهای بدون حساسیت دارند. در مدل کران بالا و پایین ،مکانیزم اصلاح شده ایی وجود دارد مبنی بر اینکه تعداد شغلهای بدون حساسیت هرگز بیشتر از آستانه T نیستند ، آنگاه در مدل کران پایین این شغلها رد می شوند و در مذل کران بالا آن شغلها بلافاصله حساس یا بحرانی میشوند. فرایندهای مارکوف سه مدل هستند. حالت سیستم اصلی که با زوج مرتب (m,n) بیان می شوند که در آن m تعداد شغلهای بدون حساسیت و n تعداد شغلهای حساس در سیستم هستند. از حالت (m,n) به حالت (m+ 1,n) با نرخ   (معلوم) و به حالت  (m- 1,n+ 1) با نرخ  تغییراتی وجود دارد. دو انتقال متناظر دیگر نیز وجود دارد ، یعنی (m,n – 1) با نرخ حداقل   (انحراف یک شغل حساس) و اگرn < c باشد آنگاه انتقال به نرخ  (m- 1,n) با نرخ حداقل   امکان پذیر است (انحراف یک شغل غیر حساس). 
حالتهای کران بالا و پایین ،محدود به زوج (m,n) با شرط m < T هستند. در سیستم کران بالا و پایین ،انتقالات همانند سیستم اصلی است ، به استثنای اینکه در حالت (T,n) انتقالات به (T+1, n) با نرخλ جایگزین انتقال با همان نرخ به (T,n) و  (T,n+1) به ترتیب در سیستم کران پایین و بالا می شود. 
 
چون در سیستم اصلی و سیستم کران پایین تعداد کل کارها معادل و به صورت M/M/C است شرط 
cμ>λ لازم است و برای این قرار گرفتن این سیستمها در حالت ergodic  کافی می باشند.سیستم کران پایین کار را خراب می کند ،بنابراین آنها اگر سیستم اصلی ergodic باشد ،ergodic هستند. انتقال نرخها برای سه مدل با c=1 در شکل ۱ نشان داده شده است. برای مدلهای با کران بالا و پایین ،ما تفاوتها را فقط نسبت به مدل اصلی نشان می دهیم. در بخش بعدی ما ثابت می کنیم که تعداد شغلهای حساس یا بحرانی در مدل کران بالا به طور تصادفی بزرگتر از تعداد آنها در مدل اصلی است. اثبات برای مدل کران پایین نیز بهمان نحو است و بنابراین از آن صرفنظر می کنیم.

۳- اثبات کرانهای بالا
ما ابتدا مدلهای کران بالای با آستانه T و T+1 را مقایسه می کنیم. فرض می کنیم   یک متغیر تصادفی مبنی بر تعداد شغلهای حساس در مدلی با آستانه T باشد. سپس بر اساس نتایج ثابت خواهیم کرد که :
قضیه ۳۰۱: برای هر T>=0  داریم  . 
فرض می کنیم T>=0 و N>=0 ثابت هستند.اکنون باید نشان دهیم که:
 
فرض می کنیم   مولد مدلی با آستانه T باشد. تعادل آن توزیع   می دهد  .
با توجه به این فرایند مارکوف ،ما زنجیره مارکوف را با انتقال ماتریس   که در آن   ،اما بقدر کافی برای   کوچک ،نا منفی تعریف می کنیم.بوضوح زنجیر مارکوف همان تعادل توزیع   را در فرایند مارکوف دارد. از این رو با برقراری (۱) می توانیم روی زنجیر مارکوف   و  با فرض  = ∆ متمرکز شویم. همراه با این زنجیرها ما ارزش مرحله اول C(m,n) را اگر n>=N باشد ،۱ و در غیر اینصورت ۰ تعریف می کنیم.برای   و  به ترتیب هزینه مورد انتظار پیش از k دوره را با آستانه T و T+1 و (m,n) هم بعنوان اولین مرحله تعریف می کنیم. بعلاوه ما   را در نظر می گیریم. در ادامه ما به طریق استقرا و از راه برهانی نامساوی ،برای توابع  ثابت می کنیم:
لم ۳۰۲: برای هر k>=0 داریم:
 
در نامساوی (i) و (ii) بهتر است با شغلهای کمتر در سیستم شروع کنیم و در حالت (iii) جالب است که شغلهای حساس را به شغلهای بدون حساسیت تغییر دهیم.توجه اینکه ارزش تابع نیز همین نامساویها را به ما می دهد .
لم ۳۰۲ برای اثبات نتیجه زیر تعیین کننده است (ضمیمه را ببینید)
لم ۳۰۳:برای هر k>=0 و هر (m,n) با   و    داریم:
 .
از لم ۳۰۳ ما نتیجه میگیریم که :
 
و بنابراین اثبات قضیه ۳۰۱ کامل می شود. 
بعداً ما نشان میدهیم که تعادل توزیع   ،مدل کران بالا با آستانه T ، وقتی که T به سمت بی نهایت میل می کند به طور ضعیف همگرا به تعادل توزیع  مدل اصلی است. 

عتیقه زیرخاکی گنج