• بازدید : 55 views
  • بدون نظر
این فایل در ۳۰۲ اسلاید قابل ویرایش تهیه شده وشامل موارد زیر است:

حدود سه قرن قبل، پینگالا ریاضی دان هندی سیستم اعداد دودویی را کشف کرد . در این سیستم که امروزه هنوز در پردازش کامپیوترهای مدرن استفاده می‌شود، با یک توالی و ترتیب صفرها و یک‌ها می‌توان هر عددی را نماین کرد .

در سال ۱۷۰۳ گاتفرید لیبنیز، منطق مجرد را توسعه داده‌است . ریاضیات تحت سیستم اعداد دودویی با دستنوشته‌های او مفهوم پیدا کرد . در سیستم او علاوه بر صفرها و یک‌ها، صحیح و غلط (True / False) و وضعیت‌های روشن و خاموش نمایان بودند .

اما بیشتر از یک قرن قبل جرج بول، در سال ۱۸۵۴ جبر بولی را منتشر کرد . اولین بار وسایل مکانیکی تحت یک الگوی دودویی که اختراع شده بود حرکت داده شده بود . انقلاب صنعتی، مکانیزم کردن تعدادی وسایل را به جلو حرکت داده بود که این شامل بافندگی نیز می‌شد . در سال ۱۸۰۱ جوزف ماری کارگاه بافندگی را توسط کارتهای پانچ کنترل می‌کرده‌است .

جایی که یک حفره روی کارت سوراخ شده باشد یک از نوع دودویی، و نقطه سورهخ نشده، صفر از نوع دودویی را نشان می‌دهد . دستگاه بافندگی نساجی از یک رایانه فاصله دارد . اما با مثال توضییح می‌دهد که با سیستم دودویی می‌توان ماشین‌ها را حرکت داد .
اروپایی‌ها

در سال ۱۷۱۶ پادشاه سوئد، چارلز دوازدهم، از دانشمند سوئدی امانوئل سویدن برگ خواست تا یک دستگاه اعداد دقیق در پایه ۶۴ به جای ده‌دهی ایجاد کند. سویدن برگ با استدلال بر این که برای مردم استفاده از اعداد در پایه بزرگ ۶۴ مشکل است، استفاده از پایه ۸ را پیشنهاد کرد. در سال ۱۷۱۸ دست‌نوشته‌ای نوشت که منتشر نشد:

En ny räknekonst som omväxlas vid talet 8 istället för det vanliga vid talet ۱۰  یک حساب هنر شمارش جدید که تغییرات در آن به جای عدد ۱۰ در عدد ۸ است.») اعداد ۱ تا ۷ در دستگاه اعداد سویدن برگ به ترتیب (از چپ به راست) برابر حروف لاتین l, s, n, m, t, f, u است. صفر نیز برابر o است. پس برای مثال lo = 8، so = 16، loo = 64، looo = 512 است.


رایانه

دستگاه اعداد اکتال گاهی اوقات به جای هگزادسیمال در رایانه‌ها استفاده می‌شود. احتمالاً یکی از نقاط عطف این موضوع در مجوز فایل‌ها در سیستم‌عامل‌های مبتنی بر یونیکس و شبه یونیکس است (chmod را ببینید).


دستگاه اعداد دودویی یا دستگاه اعداد باینری Binary

هر عدد را به‌وسیله دو رقم ۰ و ۱ نشان می‌دهند. این حالت نمایش اعداد را نمایش اعداد در مبنای دو نیز می‌نامند.

یک عدد در مبنای دو به‌وسیله تعدادی ۰ و ۱ پشت سر هم نشان داده می‌شود. در رایانه‌ها، اعداد دودویی با دو سطح ولتاژ مختلف نمایش داده می‌شوند؛ دلیل این امر آنست که پیاده سازی این سیستم توسط تجهیزات الکترونیکی بسیار ساده تر از دیگر سیستمهای عددی است.

مثلاً برای پیاده‌سازی این سیستم ممکن است ولتاژ  به‌عنوان «صفر» در نظر گرفته شود و ولتاژ ۵+ به‌عنوان «یک» (حالت دو قطبی) و یا ولتاژ صفر به‌عنوان «صفر» و ولتاژ ۵+ به‌عنوان «یک» (حالت دودویی) در نظر گرفته شود. در دیسکهای مغناطیسی نیز از نقاط دارای مغناطیس (یک) و بدون آن (صفر) برای نمایش داده‌ها و اعداد استفاده می‌شود.


تبدیل از ده‌دهی به دودویی
یکی از روشهای تبدیل از مبنای ده‌دهی به دودویی تقسیم متوالی بر عدد دو است. که طی آن باقیمانده‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرند. تقسیمات را تا صفر شدن خارج‌قسمت انجام می‌دهیم. در نهایت آخرین خارج قسمت و بعد از آن باقیمانده‌ها را از آخر به اول کنار همدیگر قرار می‌دهیم. عدد بدست آمده معادل دودویی خواهد بود.


تبدیل از دودویی به ده‌دهی
ابتدا ارزش مکانی رقم‌ها را محاسبه نموده بدین طریق که رقم اول از سمت راست در جایگاه (۲)^۰ ورقم دوم در جایگاه (۲)^۱ و…. می‌باشند. سپس هر کدام از رقم‌ها را در ارزش مکانیش ضرب کرده و همه را با هم جمع می‌کنیم(جمع در مبنای ده) عدد به دست آمده در مبنای ده وبرابر عدد ابتدایی در مبنای دو است.


سيستم هاي عدد نويسي
در کارهای روزمره از سيستم عددی اعشاری يا مبنای ۱۰ استفاده می شود. اين سيستم برای کامپيوتر مناسب نيست و برای سادگی سخت افزار، کليه اطلاعات به شکل بيت های روشن و خاموش رمز می شوند. بنابراين سيستم عددی باينری که تنها شامل ارقام صفر و يک است برای اين منظور بسيار مناسب است. عدد ۱ (on) مشخص کننده +۵ ولت و عدد صفر (off) مشخص کننده ۰٫۵ ولت است.
برای تعيين مبنای عدد يک حرف کوچک در انتهای آن قرار می گيرد. مثاال ۴۵h به معنی عدد ۴۵ در مبنای شانزده است. و ۱۱۰۱۰۰۱۱b يعنی اين عدد در مبنای ۲ است. اين روشی است که اسمبلر اعداد را در برنامه های اسمبلی تشخيص می دهد


سيستم عددی اعشاری (Decimal)
اعداد اعشاری يا مبنای ۱۰ از ۱۰ رقم (۰ تا ۹) تشکيل شده اند. هر رقم به توانی از ۱۰ مرتبط است که نشان دهنده ارزش مکانی رقم در عدد است.
۲۳۴ = ۲ × ۱۰۲ + ۳ × ۱۰۱ + ۴ × ۱۰۰
= ۲۰۰ + ۳۰ + ۴


سيستم عددی دودوئي (binary)
سيستم باينری بر اساس تنها دو وضعيت است:

روشن (۱)
خاموش (۰)،
بنابراين درمبنای ۲ است. يک رقم باينری يک بيت ناميده می شود در واتبديل باينری به اعشاری مقدار يک عدد باينری بر اساس بيت های ۱ و ارزش مکانی آنها بدست می آيد. ارزش مکانی هر بيت توانی از ۲ است. برای محاسبه مقدار اعشاری يک عدد باينری، کافی است هر رقم از راست به چپ در ارزش مکانی اش ضرب شده سپس کليه اعداد با هم جمع شوند. قع کلمه Bit مخفف Binary Digit است


تبديل عدد ۱۱۰۰۱b به مبنای ۱۰
Binary: 11001
Decimal: 1 × ۲^۴ + ۱ × ۲^۳ + ۰ × ۲^۲ + ۰ × ۲^۱ + ۱ × ۲^۰
= ۱۶ + ۸ + ۰ + ۰ + ۱
= ۲۵
تبديل عدد باينری ۱۰۰۱۰۰۰۰ به مبنای ۱۰
Binary: 1 0 0 1 0 0 0 0
Decimal: 1×۲^۷ + ۰×۲^۶ + ۰×۲^۵ + ۱×۲^۴ + ۰×۲^۳ + ۰×۲^۲ + ۰×۲^۱ + ۰×۲^۰
=۱۲۸ + ۰ + ۰ + ۱۶ + ۰ + ۰ + ۰ + ۰
=۱۴۴
کاراکتر ^ نشان دهنده عمل توان است.


تبديل اعشاری به باينری
چندين روش برای تبديل اعداد اعشاری به باينری وجود دارد. يک روش متداول تقسيم های متوالی بر ۲ است. به اين ترتيب که عدد اعشاری بر ۲ تقسيم می شود، باقيمانده بعنوان رقم باينری نگهداشته و خارج قسمت مجدد بر ۲ تقسيم می شود اين جمع اعداد باينری
جمع باينری ساده به صورت زير محاسبه می شود:
۰ + ۰ = ۰
۰ + ۱ = ۱
۱ + ۱ = ۱۰
۱ + ۱ + ۱ = ۱۱
برای جمع و عدد باينری کافی است بيت به بيت از سمت راست به چپ عمل جمع انجام شود. رقم نقلی حاصل از هر ستون در جمع ستون بعدی اعمال می شود.

۰عمل تا زمانی که خارج قسمت صفر شود ادامه پيدا می کند.


سيستم عددی هگز (Hexadecimal)
هگزادسيمال (يا به طور خلاصه هگز) روش فشرده تری را برای نمايش اعداد باينری ارائه می دهد به همين دليل توسط اسمبلر و ديباگر برای مختصر نوشتن اعداد باينری بکار می رود.
اعداد هگز مبنای ۱۶ را استفاده می کنند و از ۱۶ رقم (۰-۱۵) تشکيل شده اند. برای نمايش ارقام بعد از ۹ از حروف A تا F استفاده می شود. به عبارت ديگر ۱۶ رقم هگز شامل ۰,۱,۲,۳,۴,۵,۶,۷,۸,۹,A,B,C,D,E,F است که حروف A-F ارقام ۱۰-۱۵ را نشان می دهند (A=10، B=11، C=12، D=13، E=14 وF=15).

هر رقم هگز معادل چهار بيت باينری است. يک عدد چهار بيتی يک نيبل (Nibble) نام دارد. پس هر رقم هگز معادل يک نيبل است. دو نيبل يک بايت (Byte) را می سازد بنابراين هر بايت می تواند دو رقم هگز را نشان بدهد. مقدار يک بايت می تواند از ۰۰۰۰۰۰۰۰ تا ۱۱۱۱۱۱تبديل هگز به اعشاری
ارزش هر رقم هگز با توانی از ۱۶ مشخص می شود. برای تبديل اعداد از مبنای ۱۶ به ۱۰ هر رقم عدد در ارزش مکانی اش ضرب می شود.


مثال. تبديل عدد ۳BA4h به مبنای ۱۰٫
Hex : 3BA4
Decimal: 3×۱۶^۳ + ۱۱×۱۶^۲ + ۱۰×۱۶^۱ + ۴× ۱۶^۰
     = 3×۴۰۹۶ + ۱۱×۲۵۶ + ۱۰×۱۶ + ۴×۱
     = 1526811 باينری، ۰۰ تا FF در هگز و ۰ تا ۲۵۵ در دسيمال باشد.


تبديل اعشاري به هگز
برای تبديل دسيمال به هگز مانند باينری تقسيم های متوالی بر ۱۶ انجام می شود.
تبديل هگز به باينری
تبديل هگز به باينری ساده است. کافی است هر رقم هگز به يک عدد چهار رقمی باينری تبديل شود.
مثال. تبديل عدد ۱۶۰۷۹۴h به باينری.
Hex: 1 6 0 7 9 4
Binary: 0001 0110 0000 0111 1001 0100
توجه کنيد که صفرهای ابتدای چهار بيت اهميت دارند. اگر اين صفرها برای ارقام ميانی قرار نگيرند حاصل اشتباه است.


تبديل باينری به هگز
تبديل از باينری به هگز هم ساده است. ابتدا عدد باينری از راست به چپ به گروه های چهاربيتی تقسيم شده (اگر آخرين گروه سمت چپ کمتر از چهار بيت بود صفر اضافه می شود)، سپس هر بخش به يک رقم هگز تبديل می شود.
مثال. تبديل عدد ۱۰۱۱۰۰۰۰۰۰۱۱۱۱۰۰۱۰۱۰۰b به هگز
Binary: 0001 0110 0000 0111 1001 0100
Hex : 1 6 0 7 9 4
= ۱۶۰۷۹۴h
جمع اعداد در هگزادسيمال
چند جمع ساده در مبنای ۱۶
۷ + ۳ = A
۶ + ۷= D
F + 1 = 10
۱۰ + ۳۰ = ۴۰
F + F = 1E
۳۸ + ۱۸ = ۵۰
FF + 1 = 100
جمع دو عدد هگز

۶ + A = 6 + 10 = 16 => 10h
C + 0 + 1 = 12 + 0 + 1 = 13 => Dh
E + 4 = 14 + 4 = 18 => 12h
۷ + ۳ + ۱ = ۱۱ => Bh
دستگاه اعداد پایه ۸ یا دستگاه اعداد هشت‌هشتی یا اکتال (به انگلیسی: octal)‏ (به اختصار oct) در دستگاه اعداد به عددها در پایه ۸ گفته می‌شود. در این دستگاه اعداد از رقم‌های ۰−۷ استفاده می‌شود. اعداد هشت‌هشتی را می‌توان از اعداد دودویی بدست آورد، به این گونه که به صورت بسته‌های سه‌تایی از سمت راست جدا می‌کنید. برای مثال، معادل باینری عدد دسیمال ۷۴ برابر ۱۰۰۱۰۱۰ است که اگر گروه‌های سه‌تایی جدا کنید – ۰۱۰|۰۰۱|۰۰۱ – اکتال این عدد برابر ۱۱۲ می‌شود. در این دستگاه اعداد هر خانه توانی از ۸ را دارد. برای مثال عدد ۱۱۲ در پایه ۸:

۱۱۲۸ = ۱ x ۸۲ + ۱ x ۸۱ + ۲ x ۸۰

 

تبدیل به پایه‌های دیگر
تبدیل ده‌دهی به پایه ۸ (دسیمال به اکتال)
روش تقسیم‌های متوالی عدد به عدد ۸

برای تبدیل اعداد حسابی در پایه ۱۰ به اعداد در پایه ۸ باید عدد اصلی را بر بزرگترین توان ۸ تقسیم کنید و به همین ترتیب تا توان ۱ عدد ۸ ادامه می‌دهید. عدد مورد نظر در پایه ۸ همان خارج‌قسمت تقسیم‌هاست که به ترتیب نوشته شده‌است.

نمونه، تبدیل ۱۲۵۱۰ به اکتال:

    ۱۲۵ / ۸^۲ = ۱
    ۱۲۵ – ((۸^۲)x1) = ۶۱
    ۶۱ / ۸^۱ = ۷
    ۶۱ – ((۸^۱)x7) = ۵

در نتیجه، ۱۷۵۸ = ۱۲۵۱۰.

نمونه‌ای دیگر، تبدیل ۹۰۰۱۰ به اکتال:

    ۹۰۰ / ۸^۳ = ۱
    ۹۰۰ – ((۸^۳)x1) = ۳۸۸
    ۳۸۸ / ۸^۲ = ۶
    ۳۸۸ – ((۸^۲)x6) = ۴
    ۴ / ۸^۱ = ۰
    ۴ – ((۸^۱)x0) = ۴
    ۴ / ۸^۰ = ۴

در نتیجه، ۱۶۰۴۸ = ۹۰۰۱۰.


روش ضرب‌های متوالی به عدد ۸

برای تبدیل اعداد کسری (اعشاری بدون قسمت صحیح) در پایه ۱۰ به پایه ۸، عدد اصلی را در ۸ ضرب می‌کنید؛ قسمت صحیح عدد بدست آمده اولین عدد اعشاری بدون قسمت صحیح در دستگاه اعداد اکتال است. با تکرار این روش برای قسمت اعشاری، بقیهٔ اعداد را محاسبه می‌کنید تا زمانی که قسمت اعشاری صفر شود و یا قابل تقسیم کردن نباشد. به نمونه زیر توجه کنید.

نمونه، تبدیل ۰٫۱۶۴۰۶۲۵ به اکتال:

    ۰٫۱۶۴۰۶۲۵ x ۸ = ۱٫۳۱۲۵ = ۱ + ۰٫۳۱۲۵
    ۰٫۳۱۲۵ x ۸ = ۲٫۵ = ۲ + ۰٫۵
    ۰٫۵ x ۸ = ۴٫۰ = ۴ + ۰

درنتیجه، ۰٫۱۲۴۸. = ۰٫۱۶۴۰۶۲۵۱۰

با ترکیبی از این دو روش می‌توانید اعداد گویای پایه ۱۰ را نیز به پایه ۸ تبدیل کنید. به این صورت که قسمت صحیح عدد را با روش اول و قسمت کسری عدد را با روش دوم بدست آورید.


تبدیل پایه ۸ به ده‌دهی (اکتال به دسیمال)
تبدیل پایه ۸ به دودویی (اکتال به باینری)

برای تبدیل پایه ۸ به دودویی، هر رقم اکتال را با معادل باینری‌اش عوض کنید.

برای مثال تبدیل عدد ۵۱۸ به باینری:

    ۱۰۱۲ = ۵۸
    ۰۰۱۲ = ۱۸

در نتیجه، ۰۰۱۲ ۱۰۱ = ۵۱۸.
تبدیل دودویی به پایه ۸ (باینری به اکتال)
تبدیل پایه ۸ به پایه ۱۶ (اکتال به هگزادسیمال)

تبدیل پایه ۸ به پایه ۱۶ در دو مرحله انجام می‌شود. ابتدا اکتال به باینری تبدیل می‌شود و سپس باینری تولید شده به هگزادسیمال تبدیل می‌شود؛ برای تبدیل باینری به هگزادسیمال، گروه‌های چهارتایی درست می‌کنید و مقدار آن را بدست می‌آورید که هر گروه نمایشگر یک رقم هگزادسیمال است. برای مثال، تبدیل ۱۰۵۷۸ به هگزادسیمال:

    تبدیل عدد به باینری:
درنتیجه، ۱۰۵۷۸ برابر ۲۲F۱۶ است.
تبدیل پایه ۱۶ به پایه ۸ (هگزادسیمال به اکتال)

برای این تبدیل، وارون عملیات بالا را انجام می‌دهید، یعنی ابتدا پایه ۱۶ را به دودویی تبدیل کرده و سپس آن از دودویی به پایه ۸ تبدیل می‌کنید.
دستگاه اعداد پایه ۱۶ یا دستگاه شانزده‌شانزدهی یا هِگزادِسیمال (به انگلیسی: hexadecimal)‏ (به اختصار hex) در علوم رایانه و ریاضیات، سامانهٔ عددنویسی بر پایه ۱۶ می‌باشد. این سیستم از اعداد ۰ تا ۹ برای مقادیر صفر تا نه استفاده می‌کند و از حروف A، B، C، D، E، F و برای مقادیر ۱۰ تا ۱۵ استفاده می‌کند.
تبدیل
تبدیل دستگاه عدد دودویی به شانزده‌شانزدهی از تبدیل دودویی به ده‌دهی ساده‌تر خواهد بود مثلاً در تبدیل ده‌دهی داریم:

۰۱۰۱۱۱۱۰۱۰۱۱۰۱۰۱۰۰۱۰۲     = ۲۶۲۱۴۴۱۰ + ۶۵۵۳۶۱۰ + ۳۲۷۶۸۱۰ + ۱۶۳۸۴۱۰ + ۸۱۹۲۱۰ + ۲۰۴۸۱۰ + ۵۱۲۱۰ + ۲۵۶۱۰ + ۶۴۱۰ + ۱۶۱۰ + ۲۱۰
      = ۳۸۷۹۲۲۱۰

همین عدد در تبدیل دودویی به دستگاه شانزده‌شانزدهی با جدا کردن ۴ رقم ۴ رقم از سمت راست عدد به صورت زیر محاسبه‌پذیر است:

عتیقه زیرخاکی گنج