• بازدید : 66 views
  • بدون نظر

این فایل در قالب PDFتهیه شده  وشامل موارد زیر است:


ژوزف لویی لاگرانژ (به فرانسوی: Joseph-Louis Lagrange) (به ایتالیایی: Giuseppe Lodovico Lagrangia) (متولد ۲۵ ژانویه ۱۷۳۶ در شهر تورین ایتالیا؛ درگذشت ۱۰ آوریل ۱۸۱۳ در پاریس)، ریاضی‌دان و منجم ایتالیایی-فرانسوی بود. او از بزرگترین ریاضیدانان تمام ادوار تاریخ می‌باشد. لاگرانژ در سال ۱۸۱۳ در پاریس درگذشت، او در زمان مرگ هفتاد و هفت سال داشت.  پدر لاگرانژ، یک کارگزار پردرآمد فرانسوی‌الاصل در تورین بود. او در نوزده‌سالگی استاد ریاضی دانشسرای نظامی ـ سلطنتی در تورین شد و در آنجا اولین مقاله خود را در مورد معادلات دیفرانسیل منتشر کرد. لاگرانژ همچنین از موسسان آکادمی تورین در سال ۱۷۵۷ بود.

سال ۱۷۵۶ لاگرانژ از طرف فریدریش دوم، به عنوان مدیر آکادمی علمی پروس و جانشین لئونارد اویلر در برلین خوانده شد. در زمان ناپلئون نیز، لاگرانژ به‌عنوان سناتور و کنت فرانسه صدا زده شد. ژوزف لویی لاگرانژ در پانتئون آرام گرفته است. او در زمان مرگ هفتاد و هفت سال داشت.
در حقیقت لاگرانژ این قضیه را اثبات نکرده‌است و تنها حالتی خاص از آن را کشف کرده‌است. لاگرانژ هنگامی که روی چندجمله‌ای‌ها کار می‌کرد، دریافت که اگر متغیرهای یک چندجمله‌ای n متغیره را به !n حالت ممکن جایگشت دهیم، تعداد چندجمله‌ای‌های متمایز تولید شده حاصل از جایگشت‌ها !n را عاد می‌کند. به عنوان مثال در چندجمله‌ای سه متغیره x+y-z تعداد کل حالات جایگشت متغیرها برابر !۳=۶ است که از این تعداد تنها سه حالت یعنی x+y-z،x+z-y،y+z-x حالات متمایز هستند و دقت کنید که ۳ عدد ۶ را عاد می‌کند.
بنابراین لاگرانژ قضیه را برای گروههای متقارن به اثبات رسانید، اما با پیشرفت جبرمجرد و نظریه گروه‌ها این نتیجه به گروه‌های متناهی تعمیم داده شد.
قضیه لاگرانژ
اگر G گروهی متناهی و H زیرگروهی از G باشد، آنگاه مرتبه H مرتبه G را عاد می‌کند یعنی |H|||G|.
طرح برهان قضیه لاگرانژ
اثبات قضیه لاگرانژ ساده‌است و با استفاده از هم مجموعه‌های H در G ثابت می‌شود. برای اثبات می‌توان از هم مجموعه‌های راست یا چپ استفاده کرد که ما در اینجا از مورد اول استفاده می‌کنیم.
می‌دانیم که اگر G یک گروه باشد و H زیرگروهی از G در این صورت G را می‌توان به مجموعه همه هم مجموعه‌های راست متمایز H در G افراز نمود. بعلاوه چون G متناهی است پس هم مجموعه‌های متمایز H در G نیز متناهی است که این تعداد برابر است با اندیس H در G(اندیس H در G تعداد هم مجموعه‌های متمایز H در G هستند) که آن را با [G:H] نشان می‌دهیم.

از طرفی توجه می‌کنیم بنابر خواص هم مجموعه‌های H در G، می‌دانیم برای هر g∈G، داریم |H|=|Hg|. یعنی تعداد عناصر تمام هم مجموعه‌های H در G برابر تعداد اعضای H است.
بنابر آنچه گفته شد، ممکن است این سوال به ذهن خطور کند که آیا عکس قضیه لاگرانژ نیز برقرار است. یعنی اگر G گروهی متناهی باشد، آیا G به ازای هر مقسوم علیه مرتبه خود چون n زیرگروهی از مرتبه n دارد؟

پاسخ این پرسش در حالت کلی برای گروه G منفی است. برای رد این مطلب می‌توان گروه متناوب از مرتبه ۱۲ یعنی A۴ را به عنوان مثال نقض در نظر گرفت. با وجود این که ۶ یک مقسوم علیه ۱۲ است ولی این گروه هیچ زیرگروهی از مرتبه ۶ ندارد.

در حقیقت برای برقراری عکس قضیه لاگرانژ به شرایط اضافی نیازمندیم. به عنوان نمونه اگر G گروهی آبلی متناهی باشد در این صورت عکس قضیه لاگرانژ در مورد G صدق می‌کند یعنی اگر G گروهی آبلی و متناهی باشد و n یک مقسوم علیه مرتبه G باشد، G دارای زیرگروهی از مرتبه n است.
همچنین قضایای سیلو و قضیه کوشی برای گروه‌های آبلی متناهی به بررسی این گروه‌های خاص می‌پردازند.
نقاط لاگرانژی (به انگلیسی: Lagrangian points) (ləˈgrɑːnʒiən) پنج نقطه میان دو جسم بزرگ هستند که در آن نیروی جاذبه دو جسم همدیگر را خنثی می‌کند. غالبا ماهواره‌های رصدی (تلسکوپ‌های فضایی) در نقاط لاگرانژی میان زمین و خورشید قرار می‌گیرند.

این نقاط در فاصله ۱.۶ میلیون کیلومتری از زمین قرار دارند و در نقطه L1 دو ماهواره سوهو و جنسیس قرار دارند (ماهواره جنسیس بعد از پایان ماموریت به زمین سقوط کرد) و قرار است در نقطه L2 تلسکوپ فضایی جیمز وب قرار داده شود.
ضرایب لاگرانژ، نام روشی است در بهینه‌سازی برای یافتن بیشینه و کمینه موضعی برای توابع با داشتن یک یا چند قید برابری. این روش به افتخار ژوزف لویی لاگرانژ به این نام نام‌گذاری شده‌است.
شکل ۱: یافتن مقادیر x و y برای بیشینه کردن (f(x،y به شرط محدودیت نشان داده به رنگ قرمز یعنی g(x،y)=c (shown in red)
به عنوان مثال در شکل ۱ مسئله بهینه سازی را به صورت زیر در نظر بگیرید. Maximize f(x،y) Subject to g(x،y)=c
که می‌توان تابع داده شده را بصورت زیر نوشت f(x،y)=d
برای تمام نقاط مختلف از d و مسیر g که با g(x،y)=c داده شده‌اند، فرض کنیم که در طول مسیر g=c در حال قدم زدن هستیم که مسیرهای f و g می‌توانند کاملاً متفاوت باشند. بنابراین ادامه دادن از مسیر g می‌تواند مسیر f را قطع و یا از آن عبور کند (مماس). زمانیکه بردار مماس f و g موازی باشند این دو مسیر بر هم مماس می‌شوند و در این حالت گرادیان آنها بر دو مسیر عمود می‌شوند. و این مانند این گفته‌است که بگوییم گرادیان آنها با هم موازی باشد. بنابراین ما نقطه‌ای مانند (x،y) می‌خواهیم جایی که g(x،y)=c و ∇_(x،y) f=-λ. ∇_(x،y) g
که در آن ∇_(x،y) f=(∂f/∂x، ∂f/∂y)، ∇(x،y) g=(∂g/∂x، ∂g/∂y) شیب‌های مربوطه می‌باشند. در اینجا به ضریب λ نیاز است زیرا هرچند که هر دو بردار گرادیان موازی هستند ولی الزاماً اندازه آنها باهم برابر نیست. با ترکیب کردن معادلات بالا در یک معادله واحد معادله کمکی زیر را بدست می‌آوریم.

عتیقه زیرخاکی گنج