• بازدید : 49 views
  • بدون نظر
دانلود رایگان تحقیق کاربرد معادلات دیفرانسیل در مکانیک-خرید اینترنتی تحقیق کاربرد معادلات دیفرانسیل در مکانیک-دانلود رایگان مقاله کاربرد معادلات دیفرانسیل در مکانیک
این فایل در ۲۳صفحه قابل ویرایش تهیه شده وشامل موارد زیر است:

معادلات دیفرانسیل توصیف کننده حرکت سیارات، که از قانون دوم حرکت نیوتن به دست می آیند، هم شامل شتاب و هم شامل سرعت می شوند. در مورد حرکت موشکها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده ترند
رده بندی معادلات دیفرانسیل 
معادلات دیفرانسیل بر اساس ویژگی های زیر رده بندی می شوند 
نوع عادی یا جزئی
مرتبه که عبارت است از مرتبه مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد)؛ 
درجه نمای بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، پس از حذف مخرج کسرها و رادیکالهای مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش
وقتی متغیر وابسته،مانند y تابعی از تنها یک متغیر مستقل مانند x باشد، فقط مشتقات «عادی» در معادله ظاهر می شوند. 
کاربردها 
یکی از مهمترین کاربردهای معادلات دیفرانسیل در مطالعه ارتعاش است که مثال معروف آن حرکت فنر است. در شکل مقابل فنری به طول طبیعی L را بوسیله وزنه W به اندازه s واحد میکشیم.سپس فنر رابه اندازه a واحد دیگر میکشانیم وآنرا رها میکنیم تابه ارتعاش در آیدوضعیت وزنه در هر زمان پس از آن با یک معادله دیفرانسیل توصیف میشود. 
البته مسائل فیزیکی زیادی بعد از فرمول بندی آنها به زبان ریاضی به معادلات دیفرانسیل منجر می شوند به عنوان مثالی دیگر دستگاه معادلات دیفرانسیل زیر حرکت پرتابه ای را (بدون در نظر گرفتن مقاومت هوا) توصیف می کند: 
 
در واقع، یکی از منابع عمده معادلات دیفرانسیل در مکانیک قانون دوم نیوتن است که در آن Fبرایند نیروهای وارد بر جسمی به جرم mو سرعت V است: 
 

مثالی از رشته سینتیک شیمیایی واکنش دهنده ای چون Aاست که در تبدیلاتی موازی با سرعتهایی متناسب با مقدار A موجود در لحظه tبه دو فراورده BوC تبدیل می شود.اگرx، y ،z مقادیرA، B،C در لحظه t باشند،آنگاه معادلات دیفرانسیلی که این فرایند را توصیف میکنند عبارتند از: 
 

واکنش دهندهA باآهنگهایی متناسب با مقدار
موجود A ،فراورده هایBو C را تولید میکند
 

 

 

جواب معادله 
تابعی چون  راجواب معادله دیفرانسیل نامند اگر چنانچه در معادله دیفرانسیل مزبور y را به جای (f(x قرار دهیم و به جای مشتقات مربوط به y ،مشتقات متناظر (f(x را قرار دهیم،معادله برقرار بماند. مثلا اگر  و  مقادیر ثابتی باشند،آنگاه  

جوابی برای معادله دیفرانسیل زیر است: 
 
مساله ای فیزیکی به صورت یک معادله دیفرانسیل در می آید، معمولا شامل شرایطی اضافی هم هست که به وسیله خود معادله دیفرانسیل بیان نمی شوند. مثلاً، در مکانیک معمولا هم مکان و سرعت اولیه جسم متحرک و هم نیروها به طور جداگانه مشخص می شوند. معادله یا معادلات دیفرانسیل حرکت، معمولا جوابهایی دارند و ثابتهای دلخواهی را در برمیگیرند. از این رو به این ثابتهای دلخواه مقادیر خاصی نسبت می دهند تا شرایط اولیه توصیف شده برآورده شوند.
معادلات ديفرانسيل خطي و مدل‌سازي ديناميكي
پرويز تاجداري، مولف اين كتاب در گفت‌وگو با خبرگزاري كتاب ايران ايبنا با بيان اين مطلب اظهار داشت:‌ اين كتاب براي دانشجويان رشته‌هاي رياضي، فيزيك، مكانيك، برق و اقتصاد تاليف شده و دربردارنده مباحث مختلف معادلات ديفرانسيل خطي در مدل‌سازي است.
وي ادامه داد: كتاب حاضر، در راستاي توسعه مدل‌سازي در علوم و فنون تاليف شده و مدل‌سازي به روش سنتي را با كاربرد معادلات ديفرانسيل بررسي مي‌كند. 
تاجداري با اشاره به موضوع كتاب گفت: اين مبحث روش قديمي و ريشه‌دار در علم مدل‌سازي است كه از چند قرن گذشته تاكنون، اغلب مدل‌سازي‌ها در علوم به وسيله اين روش عملي شده و ‌اكنون نيز بر اساس آن انجام مي‌شود.
وي با بيان اين‌كه كتاب شامل سه فصل است، افزود: در فصل آغازين اين اثر، به فلسفه مدل‌سازي بر اساس مباني مذهبي پرداخته شده و از خداوند اولين مدل‌ساز بشر نام برده شده است، در اين فصل با ارايه مثال‌ها و نمونه‌هاي كاربردي، مدل‌سازي طبيعت و رياضي با يكديگر مقايسه شده‌اند.
تاجداري همچنين درباره ديگر فصول اين اثر توضيح داد: در دو فصل پاياني كتاب نيز مفاهيمي درباره نوآوري‌هاي مدل‌سازي در رياضي، معادلات ديفرانسيل خطي، روش حل آن‌ها به صورت تحليلي، كيفي و عددي آمده است.
كتاب «معادلات ديفرانسيل خطي و مدل‌سازي ديناميكي» در ۳۵۱ صفحه، شمارگان ۱۵۰۰ نسخه و بهاي چهار هزار و ۵۰۰ تومان تا پايان خرداد ماه از سوي نشر «اتا» در بازار عرضه مي‌شود.
کاربرد معادلات دیفرانسیل در مکانیک
کاربرد مستقیم قوانین حرکت نیوتن برای حرکت سیستم‌های ساده راحت و آسان است. اما در صورتی که تعداد ذرات سیستم بیشتر شود، در این صورت استفاده از قوانین نیوتن کار دشواری خواهد بود. در این حالت از یک روش عمومی ، پیچیده و بسیار دقیق که به همت ریاضیدان فرانسوی ژوزف لویی لاگرانژ ابداع شده است، استفاده می‌شود. به این ترتیب می‌توان معادلات حرکت برای تمام سیستمهای دینامیکی را پیدا کرد. این روش چون نسبت به معادلات نیوتن حالت کلی تری دارد، لذا در مورد حالتهای ساده که با معادلات حرکت نیوتن به راحتی حل می‌شود، نیز قابل اعمال است. 
مختصات تعمیم یافته 
موقعیت یک ذره در فضا را می‌توان با سه سیستم مختصات مشخص کرد. این سیستمها عبارتند از سیستمهای کارتزین ، کروی و استوانه‌ای ، یا در حقیقت هر سه پارامتر مناسب دیگری که انتخاب شده باشند. اگر ذره مجبور به حرکت در یک صفحه یا سطح ثابت باشد فقط به دو مختصه برای مشخص کردن موقغیت ذره نیاز است، در حالیکه اگر ذره روی یک خط مستقیم یا یک منحنی ثابت حرکت کند، ذکر یک مختصه کافی خواهد بود. اما در مورد یک سیستم متشکل از N ذره ، برای تشخیص کامل موقعیت همزمان تمام ذرات به ۳N مختصه نیاز خواهیم داشت.
اگر محدودیتهای بر سیستم اعمال شده باشد، تعداد مختصات لازم برای مشخص کردن پیکربندی کمتر از ۳N خواهد بود. به عنوان مثال ، اگر سیستم مورد نظر یک جسم صلب باشد، برای مشخص کردن پیکربندی آن فقط به موقعیت مکانی یک نقطه مرجع مناسب از جسم (مثلا مرکز جرم) و جهت یابی آن نقطه در فضا احتیاج داریم. بنابراین در حالت کلی برای مشخص کردن پیکربندی یک سیستم خاص ، احتیاج به تعداد حداقل معین n مختصه نیاز است. این مختصات را مختصات تعمیم یافته می‌گویند. 
نیروی تعمیم یافته 
در سیستم مختصات تعمیم یافته ، به جای نیروهایی که در مکانیک کلاسیک نیوتنی معمول است، مرتبط با هر مختصه نیرویی تعریف می‌شود که به نام نیروی تعمیم یافته معروف است. این کمیت که با استفاده از تعریف کار محاسبه می‌شود، به این صورت است که حاصل ضرب آن در مختصه تعمیم یافته دارای ابعاد کار است. بنابراین اگر مختصه تعمیم یافته دارای بعد فاصله باشد در این صورت این کمیت از جنس نیرو خواهد بود. در صورتیکه مختصه تعمیم یافته از نوع زاویه باشد، در این صورت این کمیت دارای بعد گشتاور خواهد بود. یعنی متناسب با نوع مختصه تصمیم یافته می‌تواند از جنس نیرو و یا گشتاور نیرو باشد. 

معادلات لاگرانژ 
برای بررسی حرکت یک سیستم در مکانیک لاگرانژی انرژی جبنشی و انرژی پتانسیل سیستم را تعیین می‌کنند. این کار به این صورت می‌گیرد که در مکانیک لاگرانژین در مورد هر سیستم دو کمیت جدید به نام‌های لاگرانژین و هامیلتونین تعریف می‌شود. لاگرانژین برابر تفاضل انرژی پتانسیل از انرژی جنبشی است. در صورتی که هامیلتون برابر با مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل سیستم است. در واقع می‌توان گفت که کار اصلی تعیین و محاسبه صحیح انرژی جنبشی و پتانسیل است.
سپس این مقادیر در معادله‌ای که به معادله لاگرانژ حرکت معروف است قرار داده می‌شود. معادله لاگرانژ ، معادله‌ای است که بر حسب مشتقات تابع لاگرانژی نسبت به مختصات تعمیم یافته و نیز مشتق زمانی مشتقات تابع لاگرانژی نسبت به سرعتهای تعمیم یافته نوشته شده است. به عبارت دیگر اگر تابع لاگرانژی را با L نشان دهیم و مختصات تعمیم یافته را با qk و سرعت‌های تعمیم یافته را با qk (که نقطه بیانگر مشتق زمانی مختصه تعمیم یافته qk است) نشان دهیم، معادلات لاگرانژ به صورت زیر خواهد بود:  
در صورتی که نیروهای موجود در سیستم همگی پایستار نباشند، به عنوان مثال یک نیروی غیر پایستار مانند اصطکاک وجود داشته باشد در این صورت در طرف دوم معادلات لاگرانژ عبارت Qk که بیانگر نیروی تعمیم یافته غیر پایستار است، نیز اضافه می‌شود. 
 

معادلات لاگرانژ برای تمام مختصات یکسان هستند. این معادلات ، روش یک نواختی برای بدست آوردن معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم در انواع سیستم‌های ارائه خواهند داد. 
اصل تغییرات هامیلتون 
روش دیگر برای استنتاج معادلات لاگرانژ اصل تغییرات هامیلتونی است. در این حالت همانگونه که قبلا نیز اشاره شد در مورد هر سیستم کمیتی به نام تابع هامیلتونی تعریف می‌شود که برابر با مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل سیستم است. این اصل در سال ۱۸۳۴ توسط ریاضیدان اپرلندی ویلیام .ر. هامیلتون ارائه شد.
  • بازدید : 51 views
  • بدون نظر
این فایل در ۱۰۳صفحه قابل ویرایش تهیه شده وشامل موارد زیر است:

در اوايل قرن بيستم به اين واقعيت پي برده شد كه ماشين القايي بعد از قطع ولتاژ خط ممكن است در حالت تحريك باقي بماند ولي براي ايجاد چنين تحريكي شرايط خاصي مورد نياز بود. محققان بعد از پژوهش و تحقيق در يافتند كه با اتصال خازنهايي به ترمينال موتور القايي در حال چرخش (توسط توان مكانيكي بيروني) شرط تحريك پايدار بوجود آمده و ولتاژ بطور پيوسته توليد مي شود. بنابراين يك سيستم توليد جديدي متولد شد كه در آن ولتاژ خروجي شديداً به مقدار خازن تحريك و سرعت روتور و بار بستگي دارد. اين نوع توليد تا سالهاي ۱۹۶۰-۱۹۷۰ به فراموشي سپرده شد و مطالب كمي در مورد آن نوشته شد.
ژنراتور القايي، يک موتور القايي از نوع روتور قفس سنجابی است که با يک محرک اوليه در ما فوق سرعت سنکرون،گردانده شده و برای توليد نيروی برق استفاده می شودو ساختار و مشخصه های آن مثل موتور القايي است.ساختارهای روتور وياتاقانهای آن نيز برای تحمل سرعت فرار توربين طراحی شده است.
وقتی يک موتور القايي با ولتاژ نامی و در حالت بی باری،مورد بهره برداری قرار گيرد،با سرعتی می چرخد که فقط برای توليد گشتاور لازم برای غلبه بر افت ناشی از اصطکاک و مقاومت هوا کافی باشد.اگر يک نيروی مکانيکی خارجی برابر با اين افتها به موتور القايي در همان جهت چرخش اعمال شود،روتور آن به سرعت سنکرون خواهد رسيد. 
هنگاميکه روتور به سرعت سنکرون می رسد،با همان سرعت ميدان مغناطيسی ناشی از ولتاژ تغذيه می چرخد و ولتاژ ثانويه ای القا نمی شودزيرا فلوی مغناطيسی هيچيک از هاديهای ثانويه را قطع نمی کند،هيچ جريانی از سيم پيچهای روتور نمی گذرد و فقط جريان تحريک در سيم پيچهای اوليه جريان می يابد.
در صورتی که روتور بواسطه يک نيروی خارجی در سرعتی بالاتر از سرعت سنکرون خود،چرخش کند،جهت ولتاژ القايي ثانويه،خلاف موقعی خواهد بود که به عنوان موتور القايي ،چرخش می کرد،زيرا سرعت چرخش هادی روتور فراتر از سرعت چرخش ميدان مغناطيسی می شودو گشتاوری که سرعت روتور را کند می کند بين جريان ثانويه ناشی از این ولتاژ القايي و ميدان مغناطيسی ايجاد شده و واحد مثل يک ژنراتور، کار می کند.
يعنی،توان مکانيکی خارجی اعمال شده،به توان الکتريکی تبديل می شود که در سيم پيچهای اوليه توليد شده اند.     
ماشين القايي داراي منحني گشتاور- سرعت مثل شكل (۱-۱) مي باشد. طبق اين مشخصه اگر موتور القايي سرعتي بيش از ns داشته باشد جهت گشتاور القايي معكوس مي شود و بعنوان ژنراتور عمل خواهد كرد. با افزايش گشتاور اعمالي به شفت مقدار توان توليدي افزايش مي يابد.
              
                         شکل۱-۱ مشخصه گشتاور- سرعت ماشين ا لقايي

همانطوري كه از شكل (۱-۱) معلوم است. درمد ژنراتوري يك گشتاور القايي max دارد كه با افزايش توان ورودي گشتاور القايي به حد max رسيده و بعد از آن ژنراتور به ناحيه ناپايدار وارد مي شود. در اين حالت فلوي پيوندي بين روتور و استاتور مي شكند و به طور ناگهاني روتور آزادانه مي چرخد و هيچ تواني توليد نمي شود.
ماشين هاي القايي درمد ژنراتوري داراي محدوديت هاي جدي است و بعلت عدم وجود مدار تحريك جداگانه نمي تواند توان راكتيو توليد كند. بنابراين مصرف كننده توان راكتيو است و براي حفظ ميدان مغناطيسي استاتور نياز به يك منبع توان راكتيو بيروني دارد. علاوه بر اين، چنين منبع توان راكتيوي بعلت عدم وجود جريان تحريك مستقل نمي تواند به كنترل Vo كمك كند، چرا كه در كار ژنراتور القايي، اشباع هسته نقش عمده اي دارد و براي دستيابي به يك سطح ولتاژ معين، خازنهاي تحريك بايد جريان مغناطيس كننده متناظر با آن سطح را توليد كند.
در راه اندازي ژنراتور القايي پديده اي بنام تحريك خودي مطرح مي شود كه براساس آن، ولتاژ سازي صورت مي گيرد. از اين نظر ژنراتور القايي بسيار شبيه ژنراتور DC شنت بوده و در واقع خازنهاي تحريك معادل مقاومت تحريك يا ميدان در ژنراتور DC شنت مي باشند. همچنين بطور مشابه با اضافه كردن خازنهاي سري مي توان ژنراتور القايي را بصورت كمپوند اضافي به كار برد.
 با افزايش توان راكتيو ناشي از خازنهاي سري، مقداري از توان راكتيو مورد نياز بار جبران شده و از افت ولتاژ جلوگيري مي كند. طبق مشخصه گشتاور- سرعت با تغيير بار، فركانس ژنراتور القايي تغيير مي كند، لذا از آنجاييكه اين مخني در محدوده نرمال كاري شيب تندي دارد، تغيير فركانس تا لغزش معمولاً كمتر از ۵ درصد مي باشد. چنين تغييري در فركانس ژنراتورهاي ايزوله و متصل به شبكه قابل قبول است.
در كاربردهاي متصل به شبكه قدرت با استفاده از خازن تصحيح ضريب توان صورت گرفته و ولتاژ را مي توان به كمك بار يا خود شبكه قدرت كنترل كرد.
اصولاً سيستمهاي مبدل انرژي باد به الكتريسيته را مي توان به سه گروه تقسيم كرد:
۱- سيستم سرعت متغير و فركانس ثابت (VSCF)
۲- سيستم سرعت و فركانس ثابت (CSCF)
۳- سيستم سرعت متغير و فركانس متغير (VSVF)
براي اينكه از كليت موضوع كاسته نشود و بحث منحصر به نيروگاههاي بادي نگردد، سيستم VSVF فرض مي شود.
۱-۱- مزايای ژنراتور القايي:
۱- به سيستم تحريک احتياج نداشته و ساختمان ساده ای دارد ودر نتيجه تعمير و نگهداری آن آسان است.
۲- راه اندازی و بهره برداری از آن آسان است،زيرا نيازی به سنکرونيزاسيون يا تنظيم تحريک ندارد.
۳- جريان اتصال کوتاه آن کم و زمان کاهش آن در مقايسه با ماشينهای سنکرون کوتاه تر است،زيرا در هنگام اتصال کوتاه،تحريک قطع می شودو جريان اتصال کوتاه فقط در يک مدت زمان فوق العاده کوتاه،جريان می يابد تا اينکه فلوی مغناطيسی ناپديد شود.
۴- چون هميشه بطور موازی با ژنراتور سنکرون کار می کند و هرگز مستقلا مورد بهره برداری قرار نمی گيرد،به ژنراتور سرعت نيازی ندارد. 
۵- وقتی بار پس زده شود،جريان تحريک،قطع و ولتاژ ناپديد می شودلذا هيچگونه صدمه و خسارتی به بخشهای عايقی دستگاه از جانب ولتاژ اضافی،صرف نظر از ميزان افزايش سرعت،رخ نمی دهد.
۶- وقتی ولتاژ سيستم افت ميکند،جريان تحريک خود به خود کاهش می يابد.
۷- چون گاورنر سرعت استفاده نمی شودتا حدی که سرعت آن از سرعت مجاز توربين هيدروليکی بيشتر نشود به توليد انرژی ادامه می دهد.
۸- در مواقعی که سيستم دچار اختلال می شود،اين دستگاه می تواند به صورت پايدار و بدون قطع شدن به کار خود ادامه دهد.     
علاوه بر مزاياي فوق، يك ژنراتور القايي دارای كاربرد ايزوله، بهاي كم واحد توليدي، روتور بدون جاروبك، ساختمان ساده و محكم (روتور قفس سنجابي) ،عدم وجود منبع DC جداگانه براي تحريك، نگهداري آسان مي باشد و در ضمن لازم نيست روتور به طور مداوم با سرعت ثابتي بچرخد.
بخاطر مزاياي فوق و سادگي كنترل نسبت به ژنراتور سنكرون و قابليت اطمينان بالا باعث شده اين ژنراتور، انتخاب بسيار مناسبي براي نيروگاه هاي بادي و آبي كوچك يا كاربرد در ژنراتورهاي اضطراري براي شبكه قدرت موجود مي باشد.
۱-۲ معايب ژنراتور القايي:
۱- فقط وقتی مثل يک ژنراتور کار می کند که با ماشين سنکرون موازی شده باشد و نمی تواند مستقلا برق توليد کند.(در کاربرد متصل به شبکه)
۲- چون جريان اوليه ژنراتور در ارتباط با ولتاژ خروجی در پيش فاز است لذا فقط می تواند برای بارهاي قدرتي تامين کند که نياز به جريان پيش فاز دارند.
۳- ضريب قدرت جريان بار بوسيله ضريب قدرت بار تعيين نمی شود،بلکه بوسيله ضريب قدرت ذاتی خود ژنراتور تعيين می شود.به اين معنی که ضريب قدرت بوسيله ظرفيت تعيين می شود و قابل کنترل نيست.ژنراتور سنکرونی که به طور موازی به ژنراتور القايي وصل شده،بايد علاوه بر جريان تاخيرفاز مورد نياز بار،جريان تحريک مورد نياز ژنراتور القايي را نيز توليد کند.بنابراين ضريب قدرت ژنراتور سنکرون بدتر شده و ظرفيت قابل حصول آن نيز کاهش می يابد.اين امر همچنين باعث افزايش تلفات در خطوط انتقال می شود. برای جبران اين تلفات بايد از خازنها استفاده شود.
۴- در بهره برداری موازی،جريان هجومی بالايي جريان می يابد و روی ولتاژ سيستم اثرمی گذارد.
۵- ماشينهای القايي با سرعتهای پايين و قطبهای زياد،نسبت به ماشينهای سنکرون از لحاظ ضريب قدرت و ابعاد ماشين نا مرغوبترند.   
فصل دوم:

مدلسازي عددي يك ژنراتور القايي
در اين قسمت مدل رياضي ماشين القايي بررسي مي شود تا بتوان با استفاده از آن در اغلب شرايط مشخصات ماشين را بدست آورد.
 اصولاً اساس توسعه و طرح اين مدلها، جايگزيني ماشين واقعي با ماشين معادل يا تبديل يافته مي باشد و هدف از ماشين معادل نيز دستيابي به معادلاتي است كه نسبت به معادلات اصلي راحتتر حل شوند.
عمل رياضي كه توسط آن متغيرهاي ماشين واقعي مثل جريانها، ولتاژها بصورت متغيرهاي ماشين معادل بيان مي گردند، تبديل ناميده مي شود.
تبديلها ممكن است حقيقي يا مختلط باشند. يعني تمام درايه هاي ماتريس تبديل از كميتهاي حقيقي يا مختلط تشكيل شوند. در ضمن تبديلها هميشه داراي معني فيزيكي نيستند، بلكه امكان دارد صرفاً يك مفهوم رياضي باشند. دو روش اساسي براي بدست آوردن ماتريس تبديل يك ماشين الكتريكي وجود دارد.
 در روش اول از تئوريهاي موجود در جبر خطي و ماتريسها بدون هيچگونه تأمل فيزيكي استفاده مي شود ولي در روش دوم ديد فيزيكي دخالت دارد. سير تاريخي تبديلها حاكي از كاربرد روش دوم است، در اينجا نيز از تبديلهايي كه به كمك فيزيك حاكم بر مسئله بدست آمده، استفاده خواهد شد.
۲-۱- تاريخچه مدل دو محوري ماشين القايي
مدل رياضي ماشين القايي برحسب كميتهاي فازي از معادلات ديفرانسيل خطي تشكيل يافته است كه با فرض سرعت ثابت روتور ضرايب آنها اندوكتانس هاي پريوديك متغير با زمان مي باشد.
 درك طبيعت رفتار ماشين در رابطه با اندوكتانس هاي متغير بسيار مشكل است. 
در اواخر سال ۱۹۲۰، پارك شيوه جديدي براي آناليز ماشين الكتريكي پيشنهاد كرد. او متغيرهاي استاتور ماشين سنكرون را به دستگاه مرجعي كه روي روتور قرار دارد، تبديل كرد. تبديل پارك انقلابي بزرگ در آناليز ماشين الكتريكي بوجود آورد و داراي خاصيت منحصر به فردي است كه باعث حذف اندوكتانس هاي متغير با زمان در معادلات ولتاژ ماشين سنكرون مي شود كه اين تغييرات از حركت نسبي و تغيير رلوكتانس مغناطيسي بوجود مي آيند. بنابراين از آن زمان يك ساده سازي بزرگي در توضيح رياضي ماشين سنكرون بدست آمد.
 بعدها استانلي، كران و بررتن كارپارك را براي آناليز ماشين القايي توسعه دادند. آنها سه دستگاه مرجع متفاوت را به كار بردند:
۱- دستگاه مرجع ساكن: دستگاه مرجعي كه ساكن است.
۲- دستگاه مرجع سنكرون: دستگاه مرجعي كه با سرعت سنكرون مي چرخد.
۳- دستگاه مرجع روتور: دستگاه مرجعي كه روي روتور قرار دارد و با سرعت آن مي چرخد.
در سال ۱۹۶۵، كران متوجه شد كه تمامي تبديل هاي حقيقي بكار رفته در آناليز ماشين القايي (آسنكرون) توسط يك تبديل عمومي قابل بيان است، بطوريكه با انتقال متغيرهاي روتورو استاتور به دستگاه مرجعي كه با سرعت زاويه اي دلخواهي مي چرخد يا ساكن است، اندوكتانس هاي متغير با زمان حذف مي گردند. بنابراين تمام تبديل هاي حقيقي شناخته شده با نسبت دادن سرعت گردش مناسب به دستگاه مرجع دلخواه (اختياري) بدست خواهد آمد.
معني فيزيكي تبديل پارك و ساير تبديلهاي ماتريسي حقيقي، تعريف يك مجموعه جديدي از متغيرهاي استاتور و روتور( odq) برحسب متغيرهاي سيم بندي واقعي( abc) است. كميتهاي جديد از تصوير متغيرهاي واقعي روي مجموعه دو محوري جديد يعني q,d بدست مي آيند و مولفه صفر  توزيع نيروي محركه مغناطيسي برآيند را در سرتاسر فاصله هوايي يكسان نگه مي دارد. 
از نظر رياضي، تبديل پارك فقط يك تبديل خطي است كه ماتريس اندوكتانس استاتور و روتور را قطري مي سازد و همه اندوكتانسها را ثابت و بدون تغيير مي كند. بنابراين در آناليز گذراي ماشينهاي سنكرون و القايي اغلب از معادلات تبديل يافته استفاده مي شود. از نظر تاريخي، تبديلهاي فوق در مطالعات گوناگون براي ماشين القايي يا آسنكرون بكار برده شده است. در بررسي ماشينهاي سنكرون بخصوص قطب برجسته فقط تبديل پارك مؤثر مي باشد.
ذكر اين نكته ضروري به نظر مي رسد كه در موارد زيادي اندوكتانس ها تغييرات سينوسي ايده آل ندارند يا ضرايب اندوكتانس ها يك تقارن معين را نشان نمي دهند. در چنين حالتهايي با بكاربستن تبديلهاي فوق به علت عدم حذف جملات وابسته به مكان، جوابي براي معادلات حاصل نمي شود. ولي فرمول سازي در دامنه زمان روشي براي حل معادلات پيشنهاد مي كند كه ما را به پارامترهاي ماشين محدود نمي سازد.بعلاوه مدل دامنه زمان جواب گذرا را حتي در صورت وجود عدم تقارن و غيرخطي بودن، مستقيماً مي دهد. ساده ترين روش دستيابي به مدل دامنه زمان، نوشتن معادلات ديناميكي حركت به فرم معادلات حالت است.
در بخش ۲ تا ۵ اين فصل، مدل دو محوري ماشين القايي براساس تئوري جامع ماشينها و ماتريس تبديل حقيقي پرداخته مي شود. ولي براي كامل شدن بحث، تئوري فضاي برداري نيز توضيح داده خواهد شد كه ماتريس تبديل در آن مختلط است.
مدل دو محوري ماشين القايي با صرف نظر كردن از اثر اشباع ماشين القايي عموماً تحريك استاتوري داشته و در روتور فقط جريانهايي القا مي شود. روتور ممكن است از نوع قفسي يا از نوع روتور سيم پيچي شده باشد.
در اين جا ماشين القايي معمولي با روتورو استاتور سيلندري شكل و متقارن با سيم پيچي هاي سه فاز و متعادل در نظر گرفته شده. 
(شكل ۲-۱) چنين ماشيني را بطور شماتيك نمايش مي دهد.

                              
 حال سيم پيچي سه فاز به سيم پيچي دو فاز تبديل مي گردد، بطوريكه محور دومين فاز معادل ۹۰ درجه باشد. در اين صورت سيم بنديهاي استاتور به دو كويل محوري ثابت            ds   و qs تبديل مي شود. همانطوريكه در بالا اشاره شد، روتور يا از نوع قفسي است يا از نوع سيم پيچي شده مي باشد.
 در نوع دوم امكان تبديل سيم پيچها به كويل هاي محوري q, d ثابت وجود دارد. ولي مسئله در مورد روتور قفسي كمي پيچيده و بغرنج است. اما تا آنجاييكه روتور بتواند صرفنظر از هارمونيك هاي فضايي، نيروي محركه عكس العمل آرميچري مشابه روتور سيم پيچي توليد كند، امكان بيان آن توسط كويل هاي محوري ثابت وجود دارد. 
كويل هاي معادل روتور با dr ،qr نشان داده شده است. دستگاه مرجع dq را در نظر بگيريد كه با سرعت دلخواه  مي چرخد.
ابتدا سيم بندي استاتور به دو سيم پيچ در دستگاه dq تبديل مي شود، سپس سيم بنديهاي روتور به دستگاه فوق منتقل مي شود. براي اين منظور از تبديل پارك استفاده مي شود.
 همانطور كه بعداً خواهيم ديد اين تبديل داراي خاصيت پايايي توان است. اين تبديل را در دستگاه مرجع دلخواه كه داراي سرعت  مي باشد در نظر بگيريد. بنابراين براي تبديل متغيرهاي استاتور و روتور در دستگاه مرجع دلخواه تبديلهاي عمومي زير تعريف مي شود:
(۱-۲) fodqs = Ks fabcs                              ولت،آمپر وبردور
(۲-۲) fodqr = Kr fabcs                              ولت،آمپر وبردور

ماتريسهاي تبديل نيز به شرح زير است:
   ( 3-2)                                                   
  ( 4-2 )                                                       
كه در اين روابط داريم:
 ( 5-2 )                                  
 ( 6-2 )                             
در روابط فوق f بيانگر ولتاژ، جريان يا فلوي پيوندي است و زير انديس هاي r, s به ترتيب استاتور و روتور را نشان مي دهند. 
,  جابجايي زاويه اي محور فاز a استاتور و روتور نسبت به محور d دستگاه مرجع دلخواه مي باشد. شكل( ۲-۱ ).
r، به ترتيب سرعت زاويه اي روتور و دستگاه مرجع دلخواه است.
براساس اصول يكايي كردن، اگر مقادير پايه در مدار استاتور واحد گرفته شود.
VasB=1        ,         IasB=1           ,             TB=1          (7-2)              
در اين صورت مقادير پايه در مدار روتور برابر خواهد شد با:
                               

     (8-2)                                                          
در اينجا Va, Ia كميت هاي جريان و ولتاژ، Ra, Lab, Laa به ترتيب اندوكتانس هاي خودي و متقابل و مقاومت اهمي مي باشند.
 با اين عمل كميت هاي مدار روتور نسبت به كميت هاي واقعي مدار استاتور يكايي مي شوند و با توجه به مقادير پايه( ۷-۲ )و( ۸-۲ )اين يكايي كردن مشابه انتقال كميت هاي ثانويه يك ترانسفورماتور به اوليه آن است.
۲-۲-۱: معادلات تبديل يافته ولتاژ:
شكل( ۲-۲ )دياگرام شماتيكي سيم بنديهاي روتور و استاتور را نشان مي دهد. معادلات ولتاژ، فلوي پيوندي و گشتاور الكترومغناطيسي برحسب متغيرهاي ماشين كه به طرف استاتور انتقال يافته است به شرح زير مي باشد.

                        شكل( ۲-۲): دياگرام شماتيكي سيم بندي استاتور و روتور

                            

         ( 9-2)                              Vabc = R iabc + d/dt λ abc           
كه در آن:                          
                                    
                                    

در ماتريس هاي فوق I3 ماتريس واحد وT fabcs = [fas fbs fcs] و f’abcr=[f’ar f’br f’cr] T كه f’, f بيانگر كميتهاي ولتاژ يا جريان يا شار پيوندي بوده و همچنين f’ كميت انتقال يافته به سمت استاتور است. براي فلوي پيوندي و گشتاور مغناطيسي نيز به ترتيب خواهيم داشت:
                     ( وبر-دور )        (11-2)

                 (  نيوتن- متر   )            (12-2)                  
به كمك روابط( ۱-۲ )و( ۲-۲ )معادل روابط فوق در دستگاه مرجع دلخواه بدست مي آيد. ماتريس تبديل كميتهاي استاتور و روتور را T ناميده و ابتدا از معادله ولتاژ شروع مي كنيم. بنابراين خواهيم داشت:
     (13ـ۲)                        ,   T     T 

    (14-2)             TVabc = TR (T-1 iodq) + T d/dt (T-1λodq)      

    (14-2)               (Vodq = Riodq + d/dt λodq + T d/dt (T-1 λodq 
با انجام عمليات رياضي روي جمله آخر رابطه نهايي زير نتيجه مي شود:
     (15-2)                                     Vodq = Riodq + d/dt λodq + Wλodq    
كه در آن:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                

 (16-2)                                                                                                             
                                                  
                                                     

در ماتريس فوق:
                                       
                                      
كه f بيانگر كميت هاي ولتاژ، جريان و شار پيوندي است.
از مقايسه (۹-۲) و تبديل يافته اش يعني را بطه (۱۵-۲) مي توان نتيجه گرفت كه با اعمال تبديل T جمله اضافي Wλodq بوجود آمده است كه معمولاً ولتاژ چرخشي ناميده مي شود.

۲-۲-۲ معادلات تبديل يافته فلوي پيوندي:
براي فلوي پيوندي از روابط( ۱۱-۲) و (۱۳-۲) معادلات تبديل يافته را بدست مي آوريم:

        (17-2)                   

اگر به سيم پيچي هاي معادل مطابق شكل( ۲-۳) توجه شود، بدون هيچگونه محاسبه اي در مورد ماتريس اندوكتانس تبديل يافته مي توان نتيجه گرفت. ماتريس krLrkr-1,KsLsKs-1 قطري هستند. چرا كه در اثر دگرديسي مشابه سيم بندي هاي استاتور و روتور به سيم پيچي هاي متعامد تبديل شده اند. بطوريكه اولاً مقادير اندوكتانس ثابت هستند، ثانياً اندوكتانس متقابل بين سيم بندي هاي معادل استاتور يا روتور روي هردومحور q,d صفر مي باشند. اين درواقع ناشي از خاصيت مهم اينگونه تبديلها است كه قبلاً اشاره شد.

                      
                              شكل( ۲-۳ ) سيم پيچي هاي معادل

همانطوريكه در ابتدا گفتيم وجود محور ۰ جنبه رياضي دارد و در حقيقت مطرح نمي باشد.
بدليل احكام يكايي كردن اندوكتانس هاي مغناطيسي باهم برابر مي باشند. پس روي محورهاي q, d داريم:

  (18-2)              Lqs = Ldr = Ldsr = Lm   ,   Lqs = Lqr = Lqsr = Lm

با توجه به توضيحات فوق مي توان ماتريسهاي اندوكتانس تبديل يافته را نوشت:

               

      (19-2)                                                          

از روابط( ۱۷-۲ )و( ۱۹-۲ )براحتي فلوي پيوندي محورهاي q,d براي استاتور و روتور بدست مي آيد:

                  

    (20-2)                                                       

نكته اي كه بايستي دقت شود:
 از آنجائيكه تحريكي براي روتور وجود ندارد،جريانهاي مولفه صفر استاتور (طبق رابطه (۲۰-۲)) فقط فلوهاي پراكندگي را توليد خواهند كرد و در ايجاد شارهاي گذرنده از فاصله هوايي دخالتي ندارند. پس همواره خواهيم داشت:
   (21-2)                 Vodqr = 0           ,            ior = 0

۲-۲-۳- معادله تبديل يافته گشتاور مغناطيسي:
حال معادله تبديل يافته گشتاور مغناطيسي Te را بدست مي آوريم. از روابط( ۱۲-۲ )و(۱۳-۲ )داريم: 

             
Te = 3/2 (P/2).(iqsλds – idsλqs)                                                      

بنابراين معادلات مكانيكي حاكم بر ماشين القايي عبارتند از:

   (22-2)                     Te = 3/2 (P/2).(iqsλds – idsλqs)             
 
   (23-2)                          r = Te – Tm (2/p) J d/dt   

در اين روابط p تعداد قطبها، J ممان اينرسي روتور و Tm گشتاور مكانيكي (بار) مي باشند.در آخرين قسمت بهتر است توان حقيقتي برحسب متغيرهاي تبديل يافته بدست آورد. از آنجاييكه ks و kr ماتريس هاي متعامد هستند، در نتيجه خاصيت پايايي توان برقرار خواهد بود.

              P(t) = V(obcs)T iabcs = (ks-1 Vodqs)T (ks-1 iodqs) = 

                                (vodqs)T [(ks-1) (ks-1) T] iodqs

    (24-2)                                  p(t) = Vosios + Vdsids + Vqsiqs

اكثر ژنراتورهاي القايي روتور قفس سنجابي دارند ولي ماشينهاي قفس سنجابي با ماشين روتور سيم پيچي معادل قابل نمايش هستند. بنابراين مدل رياضي ژنراتور القايي با روتور سيم پيچي بدست آورده مي شود. اين مدل را مي توان از مدل موتوري با اصلاح سيستم از صورت مصرف كننده به توليدكننده نتيجه گرفت.

عتیقه زیرخاکی گنج